ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ НА ДИНАМИКУ ИОНОВ ВБЛИЗИ КЛЕТОЧНОЙ МЕМБРАНЫ

Плюснина Т.Ю., Лобанов А.И., Лаврова А.И., Старожилова Т.К., Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б.

(Москва)

В работе рассматривается система «реакция-электродиффузия» применительно к растворам с низкой ионной силой, где традиционные представления о локальной электронейтральности среды не работают. Для одномерного случая исследованы возможности появления пространственно-временных неоднородностей. Показано, что учет самосогласованного поля в системе с диффузией и нелинейными химическими взаимодействиями меняет области значений параметров, при которых образуются структуры. В системе возможно появление бистабильности, возникновение солитоноподобных структур и апериодические по времени и по пространству режимы.

ELECTRODIFFUSION MODEL for ION TRANSPORT in NEAR MEMBRANE LAYERS

T.Yu.Plusnina, A.I.Lobanov, A.I.Lavrova, T.K.Starozhilova, G.Yu.Riznichenko, A.B.Rubin

(Moscow)

Transport processes of charged particles proceeding near cell membranes play an important role in a number of biological phenomena. In low ionic strength solutions near membrane layers the conditions of local electro neutrality is not valid. A mathematical model of ion transport coupled to chemical reactions occurring on the membrane surface is developed. We consider electro diffusion equations for two kinds of ions (positively and negatively charged). The stability analysis at linear approximation is performed. Some self-similar solutions are found. It is shown that the effect of self-consistent electric fields leads to the change of Turing instability conditions and generation of bistability and soliton-like structures. The calculations confirm analytical results.

1. Введение

Участие заряженных молекул в большинстве химических и биологических процессов обуславливает необходимость принимать во внимание вклад так называемого самосогласованного поля (электрического поля, возникающего в результате движения и взаимодействия заряженных частиц) в различные динамические режимы при изучении их механизмов.

В живых организмах роль ионов очевидна. Среди наиболее значимых для клетки процессов с участием ионов - создание градиентов трансмембранного потенциала и движение электрического импульса. Для некоторых растительных организмов характерно образование чередующихся зон (диссипативных структур на языке нелинейной динамики) с различной концентрацией какого-либо иона. Так, вдоль поверхности нитчатых водорослей Nitella и Chara происходит чередование зон с различным рН [1-3]. Разные зоны характеризуются разным электрическим потенциалом как на мембране [4], так и в примембранной области [5], что создает дополнительные электрические градиенты вдоль мембраны. Исследование механизмов таких явлений требует не только изучения работы конкретных механизмов каналов и переносчиков, но и понимания динамики в целом, то есть изучения организации пространственно-временных явлений с учетом самосогласованного поля.

Существует два основных подхода к описанию электрических явлений на мембранах и вблизи мембран [6]. Первый подход- использование эквивалентных электрических схем (описание проведения нервного импульса, образования профиля потенциала на клетках Chara [5]). Другой подход- использование уравнения электродиффузии. В сочетании с химическими реакциями уравнения электродиффузии использовались, в основном, для описания воздействия внешних электрических полей [7-10]. При этом выдвигались предположения об электронейтральности как следствии высокой ионной силы растворов. Такие предположения, справедливые для химических сред, позволяли значительно упростить анализ задач. Однако применительно к биологическим средам эти предположения справедливы не всегда. Так вблизи клеточных мембран электронейтральность может быть нарушена в результате активного транспорта ионов, существования двойного электрического слоя и фиксированных зарядов на белковых молекулах, встроенных в мембрану.

Задачей данной работы было показать на простой модели, что учет самосогласованного поля в системах с нелинейной химической кинетикой может приводить к биологически значимым эффектам, связанным с перераспределением зарядов и созданием градиентов потенциала. Для этого решались уравнения реакция-электродиффузия применительно к биологическим средам без традиционного допущения об электронейтральности раствора.

2. Модель «реакция-электродиффузия»

Рассмотрим систему, в которой помимо нейтральных присутствуют заряженные частицы. Это могут быть, например, ионы, находящиеся вблизи клеточной мембраны, диффундирующие вдоль нее и вступающие в химические реакции. Будем считать, что концентрация ионов много ниже концентрации нейтральных молекул, т.е. раствор с низкой ионной силой.

Изменения концентраций разных видов ионов описываются системой реакция-электродиффузия, которая для одномерного случая имеет вид:

, (1)

, (2)

где потоки компонентов J_i описываются уравнением Нернста-Планка, n_i - концентрация i вида ионов, f(n_i)- нелинейная функция, описывающая изменение концентрации ионов за счет происходящих на мембране химических реакций, u - подвижность иона, z - валентность, Т - абсолютная температура, R - газовая постоянная, F - число Фарадея, - напряженность самосогласованного поля, сформированного зарядами ионов. Потенциал последнего находится из уравнения Пуассона

, (3)

где e- диэлектрическая постоянная среды.

Тогда для двух типов ионов (положительного n₁ и отрицательного n₂) получим систему, которую после приведения к безразмерному виду можно записать как:

(4.а)

(4.б)

(4.в)

где _{, , , , , , , , ,} , n₀₁ и n₀₂- характерные концентрации соответственно положительных и отрицательных ионов, t₀- характерное время, выражающееся через константы химических реакций, L- размер рассматриваемой области, D₁ и D₂ - безразмерные коэффициенты диффузии положительных и отрицательных ионов, B₁ и B₂ - подвижности ионов в электрическом поле, - отношение характерных концентраций ионов, - отношение валентностей ионов, .

В качестве граничных условий для уравнений, описывающих изменение концентраций, будем рассматривать условие отсутствия потока частиц через границы области:

, (5.а)

. (5.б)

В качестве начального выберем условие стационарного, однородного распределения концентраций, то есть решение алгебраической системы f(с₁, с₂)=0 и g(с₁, с₂)=0.

Для уравнения Пуассона поставим граничные условия

. (5.в)

Условия (5.3) означают отсутствие внешнего электрического тока, направленного вдоль поверхности мембраны, а основное изменение потенциала происходит в примембранном слое, толщина которого примерно равна дебаевскому радиусу задачи. При этом на малых масштабах может протекать электрический ток, связанный с перераспределением ионов вдоль мембраны.

3. Анализ системы по линейному приближению

Итак, система (4) с граничными условиями (5) описывает электродиффузию и химическую реакцию двух типов ионов. Изначально такая система находится в устойчивом состоянии, в котором распределение концентраций однородно.

В линейном приближении системы (4) члены, описывающие подвижность ионов за счет самосогласованного поля исчезают, так как носят принципиально квадратичный характер. При линейном анализе можно говорить лишь о той составляющей, которая дает вклад в реакционную часть за счет уравнения Пуассона .

Исследуя устойчивость стационарного состояний c₁⁰ и c₂⁰ относительно небольших отклонений u(r,t)=Aе^lt+ikr, v(r,t)=Bе^lt+ikr, получим дисперсионное уравнение

(l-a₁₁+D₁k²)( l-a₂₂+D₂k²)-a₁₂a₂₁ = 0, (6)

где с учетом ,

, ,

, .

Видно, что коэффициенты матрицы линеаризации содержат добавочные члены, выражающие влияние самосогласованного поля. Значения параметров можно подобрать так, что без учета вклада поля система будет устойчива по Тьюрингу (рис.1а), а с учетом поля в системе возникают структуры (рис.1б).

Рис. 1а. Затухание возмущения в системе без учета самосогласованного поля в области параметров вблизи биффуркации Тьюринга. Параметры системы: a=3, b=1.8, D1=5 10^-5, D2=3.5 10^-4, B1=B2=0, z=0.5, g=0.2, c=1	Рис. 1б. Возникновение структур в системе с учетом самосогласованного поля. Параметры системы: a=3, b=1.8, D1=5 10^-5, D2=3.5 10^-4, B1=0.01, B2=0.035, z=0.5, g=0.2, c=1

При определенных условиях амплитуда структур может отличаться в центре области и вблизи границ, например, уменьшаться к границам области (рис.1б). Таким образом, учет самосогласованного поля дает поправку в условия возникновения тьюринговской неустойчивости.

4. Результаты вычислительных экспериментов и обсуждение

Для решения системы дифференциальных уравнений в частных производных использовалась схема расщепления по физическим процессам, описанная в [11], и модифицированная для расчета уравнений, содержащих градиентные члены. При этом отдельно решалась краевая задача для определения потенциала.

При увеличении подвижности ионов в самосогласованном поле в системе возникает нерегулярная, квазихаотическая динамика (рис.2).

В исходной системе (4) при определенных начальных условиях может возникнуть структура типа “двойного слоя”, которая движется от одной границы области до другой, не изменяя своей формы (рис.3).

Рис. 2. Нерегулярная, квазихаотическая динамика. Параметры системы: a=3, b=1.8, D1=5 10^-5, D2=3.5 10^-4, B1=0.1, B2=0.35, z=0.5, g=0.2, c=1	Рис. 3. Структуры типа “двойного слоя”. Параметры системы: a=7, b=49, D1=D2=10^-4, B1=B2=0.04, z=1, g=1, c=1

Нужно заметить, что в рассматриваемой области параметров система обладает чувствительностью к начальным данным. Существует лишь небольшой набор начальных условий, при которых обнаруживаются упомянутые выше структуры. Вероятно, такие структуры могут играть роль в передаче информации в биологических системах, поскольку способны двигаться длительное время, не изменяя своей формы. Качественно появление таких структур напоминает прохождение электрического импульса, описанного для нервных и растительных клеток. Появление таких импульсов в примембранном слое по-видимому отражает существование альтернативных механизмов (что характерно для живых организмов) образования и распространения потенциала действия.

Далее, была исследована точечная система (брюсселятор) с учетом членов, возникающих за счет самосогласованного поля. Учет самосогласованного поля приводит к тому, что в системе появляются дополнительные стационарные состояния (рис.4). Так в брюсселяторе в области параметров, указанных на рис.4, помимо устойчивого фокуса, в области положительных значений переменных появляются еще две особые точки- седло и устойчивый узел. Таким образом, система приобретает бистабильный характер. При исследовании полной системы (4) в области бистабильности было обнаружено распределение ионов в форме ступеньки, объединяющей два стационарных состояния (рис.5), при этом края «ступеньки» напоминают описанную выше структуру типа «двойного слоя». Распределение потенциала в системе (4) имеет вид, представленный на рис.6.

Из результатов расчетов следует, что действие самосогласованного поля в системах с несколькими стационарными состояниями может привести к перераспределению ионов между двумя устойчивыми состояниями и возникновению большого градиента потенциала. Существующие описания механизмов возникновения градиента потенциала обычно относятся к трансмембранному потенциалу. В представленной модели описывается возникновение градиента потенциала вдоль поверхности мембраны. Существование таких градиентов известно, например, для гигантских клеток водоросли Chara. По предположению авторов [2] такой механизм позволяет неподвижной клетке увеличивать потоки ионов и связанных с ними необходимых клетке веществ.

Рис. 5. Распределение ионов в виде “ступеньки”. Параметры системы: a=5, b=25, D1=D2=4×10^-4, B1=B2=0.01, z=1, g=1, c=10	Рис. 6. Распределение потенциала Параметры системы: a=5, b=25, D1=D2=4×10^-4, B1=B2=0.01, z=1, g=1, c=10

С помощью аналитического и численного исследований мы попытались учесть вклад электрического поля, создаваемого внутренними зарядами самой системы, не прибегая к допущениям об электронейтральности системы. Исследования показали, что при учете самосогласованного поля могут измениться границы существования тьюринговской неустойчивости. При определенных значениях параметров показана возможность возникновения новых динамических режимов, в том числе солитоноподобных структур.

Список литературы:

1.M.Leonetti, P.Pelce, On the theory of pH bands in characean algae, Life sciences, 1994, 317, 801-805.

2.Alfred Dorn and Manfred H. Weiseneel (1984) Growth and the current pattern around internodal cells of Nitella flexilis L. Journal of Experimental Botany 35, 373-383

3.Lucas W.J. and Dainty J. (1977) Spatial Distribution of Functional .OH^- Carriers Along a Characean Internodal Cell: Determined by the Effect of Cytochalasin В on H¹⁴CO₃^- Assimilation J. Membrane Biol. 32, 75-92

4.Toko K., Chosa H., Yamafuji K. (1985) Dissipative structure in the Characeae: Spatial pattern of proton flux as a dissipative structure in characean cells. J. Theor. Biol 114, 127-175

5.Kiyoshi Toko, Takanory Fijiyoshi, Koreaki Ogata, Hiroyuki Chosa and Kaoru Yamafuji (1987) Theory of electrric dissipative structure in Characean internode. Biophysical Chemistry 27, 149-172.

6.Котык А., Яначек К. Мембранный транспорт. М.Мир. 1980, 341 с.

7.H.Malchow, Flux-induced instabilities in ionic and population-dynamical interaction systems, Zeitschrift fur physikalische chemie, Bd.204, S.95-107 (1998)

8.H.Sevcikova, J.Kosek, M.Marek, Splitting of 2D Waves of excitation in a direct curent electric field, J.Phys.Chem., 1996, 100, 1666-1675

9.A.F.Munster, M.Waltzl, F.W.Schneider, Two-dimensional Turing-like patterns in the PA-MBO-system and effects of an electic field, Physica Scripta, V.T67, 58-62, 1996

10.A.F.Munster, P.Hasal, D.Snita, M.Marek, Charge distribution and electric field effects on spatiotemporal patterns, Physical Review E, v.50, N1, p.546-550, 1994

11.Лобанов А.И., Старожилова Т.К., Гурия Г.Т// Математическое моделирование, 1997, т.9, №8, с.83-95.